Neptalium

En programación 3D en tiempo real es imprescindible optimizar todo lo posible, y la inversión de matrices homogéneas es uno de los casos complejos (aparentemente) en donde se puede conseguir una excelente optimización siguiendo las reglas del álgebra matricial y conociendo cómo ha sido generada la matriz a invertir (conociendo su estructura).

Nota: En este post usaré el formato fila (pre-multiplicación) para representar las matrices y la formulación.

Vamos a ver primero la inversión aislada de los tres casos básicos, matriz de rotación, escala y traslación:

Si la matriz de rotación R es ortogonal (si sus tres ejes son perpendiculares entre si), entonces su inversa es simplemente su traspuesta:





La inversa de una matriz de escala S es muy sencilla:





Y la inversa de una matriz de traslación T también es muy simple:





Ahora veamos un caso más práctico, cómo invertir una matriz de transformación RT (es decir, una matriz que primero realiza una rotación y luego una traslación). Es imprescindible saber siempre el orden de las transformaciones contenidas en una matriz para poder optimizar el cálculo de su inversa ya que vamos a optimizar los cálculos por partes y siguiendo una regla muy simple; la inversa del producto de dos matrices es igual al producto invertido de las inversas de dichas matrices:

Con esta regla tan simple podemos invertir una matriz RT multiplicando la inversa de la traslación por la inversa de la rotación: y como ya sabemos que la inversa de una matriz ortogonal es su traspuesta la fórmula final será:

Con lápiz y papel calculamos la estructura final de la matriz inversa de una transformación RT:



Para invertir una matriz TR es incluso más simple:



Ahora veremos cómo invertir matrices que incluyen transformaciones de escala isométrica (que significa que se ha aplicado la misma escala a los tres ejes), empecemos por la clásica transformación SRT (donde primero se escala, luego se rota y finalmente se traslada). Como siempre su inversa será:

Volvemos a coger el lápiz y calculamos:



La misma inversa SRT pero de una matriz con escalado anisométrico (escalado no idéntico en los tres ejes) sería:



Para terminar veremos la inversa de una matriz que represente una transformación RTS. La inversa con escalado isométrico es:



Y la inversa de una matriz RTS con escala anisométrica es:



Si teneis dificultades para ver alguna de las matrices pulsad con el botón derecho del ratón sobre ella y elegid Abrir/Ver imagen.

Desde los inicios de OpenGL existe una confusión bastante importante sobre cómo administra internamente las matrices. Unos piensan que las almacena en formato fila y otros piensan que lo hace en formato columna. Pues lo cierto es que ni una cosa ni la otra!
OpenGL almacena las matrices en un array unidimensional de 16 elementos y es el programador quien decide cómo prefiere interpretarlas.

Quedará más claro con un ejemplo:

Con el código anterior leemos la matriz actual MODELVIEW y la almacenamos en el array m.

¿Y cómo están estructurados los elementos de la matriz? Pues muy sencillo, secuencialmente:



Ahora el programador puede decidir interpretarlo como una matriz de tipo columna:



O como una matriz de tipo fila:



Matemáticamente es indiferente cómo prefieras interpretarlas, pero recuerda que si utilizas el formato columna debes realizar post-multiplicaciones, y si usas el formato fila pre-multiplicaciones.

Supongamos que tienes una matriz que representa una rotación y la matriz que realiza una traslación, y quieres combinarlas en una matriz , de forma que la matriz de trasformación resultante realice primero la rotación y luego la traslación. Si usas el formato fila tendrás que hacer una pre-multiplicación: (Esto se lee: la matriz R pre-multiplica a la matriz T).
Pero si usas el formato columna el orden se invierte ya que es una post-multiplicación: (Y esto se lee: la matriz R post-multiplica a la matriz T).

Otro ejemplo; quieres transformar el vector por la matriz para obtener el vector transformado .
Si la matriz es de tipo fila pre-multiplicas:
En cambio, si es de tipo columna post-multiplicas:

En algebra matricial siempre se multiplican filas por columnas, por lo tanto si la matriz es de tipo fila y deben ser interpretados como un vectores fila, y si es de tipo columna entonces y deberán ser interpretados como vectores columna.

Un último ejemplo; transforma el vector por las matrices (en éste orden).
La pre-multiplicación sigue el orden natural de las transformaciones por lo que resulta más intuitiva:
La post-multiplicación sería el proceso inverso:

Para terminar un truco para no liarte; cuando utilices matrices y vectores columna (post-multiplicación) debes interpretar las transformaciones como series de funciones: